工程力学期末考试重点复习#

整合自：录音转写重点 + 考试题型说明 + 各章知识点文件

一、考试信息#

题型与分值#

题型	数量	分值	说明
填空题	15空	30分（2分/空）	概念、定义、公式为主
选择题	12道	50分	单选，含小计算
受力分析	1道	10分	画受力图
计算题	4道	40分（10分/道）	四道大题

四道计算大题（必考）#

序号	出题范围	来源
1	动能与动能定理	作业、例题
2	静力学	作业、例题
3	运动学	作业、例题
4	达朗伯原理	作业、例题

所有大题均基于平时作业、课堂例题和PPT例题。

二、静力学（重点复习）#

2.1 基本概念与公理（填空题高频）#

知识点	内容	提示
力的三要素	大小、方向、作用点	必记
力的可传性	力可沿作用线滑移到刚体内任意一点	注意：不能滑到刚体外
平行四边形法则	两力合成用平行四边形对角线	推论：三力平衡汇交
三力平衡汇交	三力平衡，若两力汇交，第三力必过汇交点	计算题先找二力杆，再找三力汇交
作用与反作用定律	大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在不同物体上	牛顿第三定律
二力杆	只在两个力作用下平衡的刚体	两力必等大、反向、共线
加减平衡力系公理	加减平衡力系不改变对刚体的作用效果	力系简化依据

2.2 约束与约束反力（受力分析必考）#

约束类型	反力方向	表示方法
光滑接触面	沿公法线指向物体	一个力
柔性体（绳、链）	沿柔性体背离物体（拉力）	一个力
固定铰链支座	过销中心，方向不定	两个正交分力
中间铰链	过销中心，方向不定	两个正交分力
活动铰支座（辊轴）	沿支撑面法线方向	一个力
固定端约束	限制平动+转动	三个反力： $F_{Ax}, F_{Ay}, M_A$

约束反力方向：始终与约束所能阻碍的位移方向相反

2.3 受力分析图（10分大题）#

步骤：

取分离体（解除约束）
先画主动力
再画约束反力（按约束类型）
整体受力图不画内力

常见错误：漏画力、多画力、画错力方向、受力图上带约束

2.4 平面汇交力系#

知识点	内容
几何条件	力多边形自行封闭 → 平衡
解析条件	$\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0$
合力投影定理	合力在某轴上的投影 = 各分力在同轴上投影的代数和
合力大小	$F_R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}$

2.5 力矩与力偶系#

力对点之矩： $M_O(F) = F \cdot d$ ，逆时针为正，顺时针为负

合力矩定理： $M_O(F_R) = \sum M_O(F_i)$

力偶：

定义：大小相等、方向相反、不共线的两平行力
力偶不能合成一个力，也不能用一个力来平衡
力偶三要素：力偶矩大小、力偶转向、力偶作用面
两个重要推论：
1. 力偶可在作用面内任意移转，不改变作用效果
2. 力偶矩不变时，可同时改变力的大小和力偶臂长短

力偶系平衡条件： $\sum M = 0$

2.6 平面任意力系（静力学计算大题核心）#

向一点简化：可得一个力（主矢）+ 一个力偶（主矩）

主矢 $\vec{F_R}' = \sum \vec{F_i}$ ，与简化中心无关
主矩 $M_O = \sum M_O(F_i)$ ，与简化中心有关

简化结果：

条件	结果
$F_R'=0, M_O \neq 0$	合力偶
$F_R' \neq 0, M_O=0$	合力
$F_R' \neq 0, M_O \neq 0$	可进一步简化
$F_R'=0, M_O=0$	平衡

平衡方程三种形式：

形式	公式	条件
基本式	$\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M_O=0$	无
二矩式	$\sum M_A=0,\ \sum M_B=0,\ \sum F_x=0$	AB连线不垂直于x轴
三矩式	$\sum M_A=0,\ \sum M_B=0,\ \sum M_C=0$	A、B、C三点不共线

分布荷载简化：

荷载类型	合力大小	作用点
矩形均布荷载	$q \cdot l$	中点（1/2处）
三角形荷载	$\frac{1}{2}q_{max} \cdot l$	距底边2/3处

2.7 摩擦#

知识点	内容
静摩擦定律	$F_{max} = f_s \cdot F_N$
摩擦角	$\tan \varphi_f = f_s$
自锁现象	主动力合力作用线在摩擦角内（ $\theta \leq \varphi_f$ ），无论力多大，物体保持静止
动摩擦	$F_d = f \cdot F_N$ ，一般 $f < f_s$

2.8 空间力系#

知识点	内容
力对轴之矩	力在垂直于轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩，逆正顺负
空间力系平衡方程	6个独立方程： $\sum F_x=0, \sum F_y=0, \sum F_z=0, \sum M_x=0, \sum M_y=0, \sum M_z=0$

2.9 重心#

求法	说明
分割法	分割为已知重心的简单形状求和
负面积法	切去部分取负值，再用分割法公式
对称性	有对称面/轴/中心时，重心必在对称面/轴/中心上

三、运动学（重点复习）#

3.1 点的运动学#

三种描述方法：

方法	速度	加速度
矢径法	$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$	$\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$
直角坐标法	$v = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$	$a = \sqrt{\ddot{x}^2 + \ddot{y}^2 + \ddot{z}^2}$
自然法	$v = \frac{ds}{dt}$	$a_t = \frac{dv}{dt},\ a_n = \frac{v^2}{\rho}$

切向加速度与法向加速度：

切向加速度 $a_t = \frac{dv}{dt}$ ：反映速度大小的变化
法向加速度 $a_n = \frac{v^2}{\rho}$ ：反映速度方向的变化
全加速度大小： $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$

3.2 点的合成运动#

“一点、二系、三运动”：

绝对运动：动点对定参考系 → $\vec{v}_a,\ \vec{a}_a$
相对运动：动点对动参考系 → $\vec{v}_r,\ \vec{a}_r$
牵连运动：动参考系对定参考系 → $\vec{v}_e,\ \vec{a}_e$

速度合成定理： $\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$

加速度合成定理（牵连运动为平动时）： $\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r$

动点和动系应分别选在两个不同刚体上，相对轨迹要简单直观。

3.3 刚体的基本运动#

平动：各点轨迹形状相同、速度相同、加速度相同

定轴转动：

公式	说明
$\omega = \frac{d\varphi}{dt}$	角速度，逆正顺负
$\varepsilon = \frac{d\omega}{dt}$	角加速度
$\omega = \frac{\pi n}{30}$	转速n(r/min)与角速度转换
$v = R\omega$	任意点速度
$a_\tau = R\varepsilon$	切向加速度
$a_n = R\omega^2$	法向加速度

齿轮传动：

啮合点速度相同
角速度与半径成反比，与齿数成反比： $i_{12} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{z_2}{z_1}$

3.4 刚体的平面运动（重点：速度瞬心法）#

三种求速度方法：

方法	核心	适用场景
基点法	$\vec{v}_M = \vec{v}_{O'} + \vec{\omega} \times \vec{r}_{MO'}$	通用
速度投影定理	$[\vec{v}_A]_{AB} = [\vec{v}_B]_{AB}$	已知两点速度方向
速度瞬心法	$v_M = CM \cdot \omega$	瞬心易确定时（重点掌握）

速度瞬心位置判断：

纯滚动：接触点即瞬心
已知两点速度方向：两速度垂线交点
两点速度平行且垂直于连线：端点连线与AB交点
瞬时平动：瞬心在无穷远

加速度分析：只能用基点法 $\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}^\tau + \vec{a}_{BA}^n$

角速度与角加速度与基点的选择无关。

四、动力学（重点复习）#

4.1 质点动力学基本方程#

牛顿第二定律： $\vec{F} = m\vec{a}$

运动微分方程：

直角坐标： $m\ddot{x} = \sum F_x,\ m\ddot{y} = \sum F_y$
自然坐标： $m\frac{dv}{dt} = \sum F_\tau,\ m\frac{v^2}{\rho} = \sum F_n$

4.2 刚体定轴转动微分方程#

核心公式： $I_z \varepsilon = \sum M_z(F)$

转动惯量（必记3种）：

物体	转动惯量
均质细杆（过质心）	$I_z = \frac{1}{12}ml^2$
均质细杆（过端点）	$I_z = \frac{1}{3}ml^2$
均质圆环（过中心）	$I_z = mR^2$
均质圆盘（过中心）	$I_z = \frac{1}{2}mR^2$

平行移轴定理： $I_z = I_{zC} + md^2$

4.3 动能定理（计算大题必考）#

动能公式：

运动形式	动能
质点	$T = \frac{1}{2}mv^2$
平动刚体	$T = \frac{1}{2}Mv_C^2$
定轴转动	$T = \frac{1}{2}I_z\omega^2$
平面运动	$T = \frac{1}{2}Mv_C^2 + \frac{1}{2}I_C\omega^2$

动能定理（积分形式）： $T_2 - T_1 = \sum W_{12}$

常见力的功：

力	功
重力	$W = mg(z_1 - z_2)$
弹性力	$W = \frac{1}{2}k(\delta_1^2 - \delta_2^2)$
力偶矩	$W = \int M_z d\varphi$

功率： $P = \frac{dW}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} = M_z \omega$

4.4 达朗伯原理（动静法，计算大题必考）#

核心思想：假想加惯性力，将动力学问题转化为静力学问题求解。

惯性力： $\mathbf{Q} = -m\mathbf{a}$ （大小 = ma，方向与加速度相反）

惯性力系简化：

运动形式	简化结果
平动	通过质心的合力 $\mathbf{Q}_R = -m\mathbf{a}_C$ ，主矩为0
定轴转动	主矢 $\mathbf{Q}_R = -m\mathbf{a}_C$ ，主矩 $M_{QO} = -I_O\varepsilon$

特殊情况：

转轴过质心： $\mathbf{Q}_R = 0$ ，只剩惯性力偶
匀速转动且转轴过质心：惯性力系自成平衡（动平衡）

五、公式速查表#

静力学#

公式	含义
$M_O(F) = F \cdot d$	力对点之矩
$\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0$	平面汇交力系平衡
$\sum M = 0$	平面力偶系平衡
$\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0,\ \sum M_O = 0$	平面任意力系平衡
$F_{max} = f_s F_N$	最大静摩擦力
$\tan\varphi_f = f_s$	摩擦角

运动学#

公式	含义
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$	速度（矢径法）
$a_t = \frac{dv}{dt},\ a_n = \frac{v^2}{\rho}$	切向/法向加速度
$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$	速度合成定理
$\omega = \frac{\pi n}{30}$	转速转角速度
$v = R\omega$	转动速度
$a_\tau = R\varepsilon,\ a_n = R\omega^2$	转动加速度
$i_{12} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{z_2}{z_1}$	齿轮传动比
$[\vec{v}_A]_{AB} = [\vec{v}_B]_{AB}$	速度投影定理

动力学#

公式	含义
$I_z \varepsilon = \sum M_z(F)$	定轴转动微分方程
$I_z = I_{zC} + md^2$	平行移轴定理
$T = \frac{1}{2}mv^2$	质点动能
$T = \frac{1}{2}Mv_C^2 + \frac{1}{2}I_C\omega^2$	平面运动动能
$T_2 - T_1 = \sum W_{12}$	动能定理
$\mathbf{Q} = -m\mathbf{a}$	惯性力
$\mathbf{Q}_R = -m\mathbf{a}_C,\ M_{QO} = -I_O\varepsilon$	惯性力系简化（定轴转动）

六、易错点提醒#

易错点	正确理解
力的可传性	只能在刚体内滑移，不能滑到刚体外
二力平衡 vs 作用反作用	二力平衡作用在同一物体，作用反作用在不同物体
力偶	不能合成为一个力，不能用单独一个力平衡
主矢 vs 主矩	主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
瞬时平动	速度相同，但加速度不一定相同
速度瞬心	只能用于速度分析，不能用于加速度
加速度合成定理	仅当牵连运动为平动时 $\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r$
力矩符号	逆时针为正，顺时针为负
角速度符号	逆时针为正，顺时针为负

七、复习建议#

概念题（填空+选择）：重点复习静力学公理、约束类型、力偶特性、摩擦角与自锁、运动学基本概念
受力分析：熟练掌握各类约束反力画法，注意二力杆判断
静力学计算：重点练习平面任意力系平衡方程（三种形式都要会用）
运动学计算：重点掌握速度瞬心法、齿轮传动比、点的合成运动
动能定理：重点练习平面运动刚体动能计算 + 动能定理积分形式
达朗伯原理：掌握惯性力系简化（平动和定轴转动两种情况）
所有大题均在作业、例题、PPT例题范围内，务必回顾作业和例题

以上内容整合自课堂录音重点、考试题型说明及各章知识点整理。请结合教材、作业和课堂例题进行复习。

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